FREGE GOTTLOB

(Recop.) Justo Fernández López

Vgl.:

Begriffsschrift von Frege / Sinn und Bedeutung bei Gottlob Frege / Zahlen / Bedeutung vs. Sinn / Logizismus / Formalismus / Logik / Formale Logik / Nominalismus / Konstruktivismus / Platonismus / Intuitionismus / Mathematik / Peirce, Charles Sanders / Sinn und Bedeutung bei Edmund Husserl / Sinn und Bedeutung bei Ludwig Wittgenstein / Idiographie / Eigenname / Appellativ

„Frege, Gottlob Friedrich Ludwig (1848-1925)

Frege hat zur Philosophie drei zusammengehörige Beiträge geleistet, die die Entwicklung der modernen, analytischen Philosophie angeregt und maßgeblich mitbestimmt haben.

1. Er ist der eigentliche Begründer der modernen (mathematischen) Logik.

2. Seine Philosophie der Mathematik (der sog. Logizismus), die sich mit den Grundlagen der Mathematik beschäftigt, ist der erste Beitrag zur modernen philos. Diskussion der Mathematik.

3. Schließlich ist er der Begründer der philos. Logik und der philos. semantischen Analyse der Sprache.

Die Hauptgedanken von Freges Grundlegung der modernen Logik sind bereits in seiner ersten Veröffentlichung, der Begriffsschrift aus dem Jahr 1879, enthalten. Hier wird zum ersten Mal ein modernes logisches System mit formalisierter Sprache, Axiomen und Schlussfolgerungsregeln dargestellt. Das System behandelt die sog. Prädikatenlogik 2. Stufe mit Quantifikationen über Gegenstände und Eigenschaften. Seine Fragmente über die Satz- und Prädikatenlogik 1. Stufe bilden – was Frege nicht selbst beweisen konnte – eine vollständige Formalisierung der reduktiven logischen Theorien. F. Einführung von Quantoren in der Begriffsschrift ermöglicht die Lösung von Problemen, die bisher in Verbindung mit der logischen Analyse genereller Sätze (mit den Sammelausdrücken «alle», «keine» und «einige») aufgetreten waren. Diese Probleme hatten die Logik daran gehindert, eigentliche Fortschritte über Aristoteles hinaus zu machen. F. logisch-mathematisches Hauptwerk Die Grundgesetze der Arithmetik (Band I, 1893, Bd. II, 1903) führt das logische System der Begriffsschrift weiter. Es handelt von reinen logischen Analysen (Reduktionen) der Grundsätze und Grundbegriffe der Arithmetik und der Theorie der reellen Zahlen. Es zeigte sich jedoch, dass das erweiterte System einen unauflöslichen Selbstwiderspruch beinhaltet (Russells Antinomie).

In seinen Grundlagen der Arithmetik aus dem Jahr 1884 liefert F. zunächst eine vernichtende Kritik der üblichen Antworten auf die Frage «Was sind Zahlen?» und «Welchen erkenntnismäßigen Status hat mathematische Wahrheit?». Seine Antwort beruht auf der Grundthese des Logizismus, dass die Mathematik eine Weiterentwicklung der Logik sei. Mit Hilfe der Alltagssprache beschreibt er die Prinzipien, die es erlauben, mathematische auf logische Begriffe zurückzuführen, wie sie in den Grundgesetzen der Arithmetik formalisiert werden. Die philosophische Argumentation F. führt jedoch weit über die Philosophie der Mathematik hinaus und fand nicht zuletzt bei Wittgenstein später in anderen Zusammenhängen wieder Aufnahme, so das kontextuelle Prinzip, demzufolge der Sinne eines Wortes immer aus dem Satzzusammenhang (Kontext) erklärt werden soll und nie isoliert betrachtet werden darf.

Neben den Grundlagen und den informellen Einleitungen zu den zwei Bänden der Grundgesetz hat F. in einer Reihe von Artikeln seine Sprachphilosophie dargestellt. Hier nimmt Über Sinn und Bedeutung aus dem Jahr 1892 einen hervorragenden Platz ein. Frege verwendet die Unterscheidung zwischen Sinn und Bedeutung in Verbindung mit sämtlichen Ausdruckskategorien – singuläre Ausdrücke, generelle Ausdrücke, Funktionsausdrücke und ganze Sätze – und formuliert damit die generelle philosophische Theorie über die Wirkungsarten der Sprache, die seinem logischen System und seinen philos. Analysen zugrunde liegen: Der Hauptgedanke ist der, dass Sinn mit Hilfe des Begriffs Wahrheit erklärt werden soll. Der Sinn eines Satzes ist seine Wahrheitsbedingung: Einen Satz verstehen heißt wissen, wann er wahr (falsch) ist. Der Sinn eines Wortes ist sein Beitrag zur Festlegung der Wahrheitsbedingungen jener Sätze, in denen er vorkommt. Der Wahrheitsbegriff selbst kann nicht mit Hilfe von anderen Begriffen erklärt werden. Er muss als nicht definierbarer Begriff anerkannt werden. Frege unterzieht denn auch die herrschenden Wahrheitstheorien einer scharfen und abweisenden Kritik, so in dem Aufsatz Der Gedanke aus dem Jahr 1918. In diesem Artikel greift er auch den Idealismus an und konfrontiert ihn mit den realistischen Grundanschauungen, die sich wie ein roter Faden durch seine ganzen Werke ziehen.”

[Hügli, A. / Lübcke, P. (Hg.): Philosophielexikon. Personen und Begriffe der abendländischen Philosophie von der Antike bis zur Gegenwart. Reinbek: Rowohlt, 1991, S. 193-194]

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„Frege, Gottlob

Profesor de matemáticas en la universidad de Jena, en la que apenas logró el mínimo reconocimiento académico, puede decirse, sin embargo, que es uno de los pensadores que más han influido en la filosofía analítica actual.

Toda su vida estuvo dedicado a fundamentar las matemáticas en la lógica (intento que ha recibido el nombre de logicismo y que sería continuado por Russell). Para ello comenzó por inventar una »conceptografía« (Begriffsschrift, 1879), que es el primer tratado sistemático y completo de lógica formal, realización en cierto modo del viejo ideal algorítmico de Lull y de Leibniz.

En Die Grundlagen der Aritmetik (1884) y Die Grundgesetze der Aritmetik (1893 y 1903) se propone llevar a término el programa logicista. A punto ya de aparecer el segundo volumen de esta última obra, Russell descubre una contradicción en su planteamiento que obliga a Frege a rehacer todo su pensamiento durante el resto de sus días.

El programa de Frege sigue hoy sin completar, pero sus instrumentos de trabajo, sus conceptos, sus planteamientos están en la base de la labor actual en lógica, semántica y filosofía del lenguaje.“

[Quintanilla, Miguel A. (dir.): Diccionario de filosofía contemporánea. Salamanca: Ediciones Sígueme, 1976, p. 185]

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“Gottlob Frege ocupa un lugar destacado entre todos los Lógicos. Su Begriffsschrift no puede compararse más que con una gran obra en toda la historia de la lógica: los Analíticos primeros de Aristóteles. Tanto el Begriffsschrift como los Analíticos primeros contienen una larga serie de puntos de vista totalmente nuevos: Frege, por ejemplo, fue el primero en formular con precisión la diferencia entre variable y constante, lo mismo que el concepto de función lógica, la idea de una función pluriargumental, y el concepto de cuantificador; a él se debe una concepción mucho más exacta de la teoría aristotélica de sistema axiomático, al igual que una clara distinción entre ley y regla, lenguaje y metalenguaje (sin emplear, claro está, estos términos); él es el autor de la teoría de la descripción, y si bien no el inventor del concepto de valor, sí el primero en elaborarlo sistemáticamente. Y está lejos de ser esto todo.

Todos estos nuevos conceptos y puntos de vista, están a la vez expuestos, lo mismo que en Aristóteles, en forma ejemplar por su sistematización y claridad. En el Begriffsschrift tenemos ya un sistema en el que, partiendo de unos pocos axiomas, se deducen «sin solución de continuidad» (lückenlos), como dice el mismo Frege, por primera vez en la Histpria, una larga serie de teoremas lógico-matemáticos. Otros varios Lógicos han expuesto a la vez, o incluso antes que él, conceptos y teorías semejantes, pero ninguno logró suscitar de un golpe y en forma tan perfecta, tal cantidad de innovaciones, con frecuencia completamente revolucionarias. Frege es, sin ningún género de duda, el más importante de todos los pensadores de la Lógica matemática.”

[Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, p. 283-284]

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“Significado y referencia

Carnap propone la división de la semántica en teoría de la extensión y teoría de la intensión. La primera estudiaría la relación de las palabras y frases a las cosas (denotación, extensión); la segunda se ocuparía del significado o sentido de las palabras y de las frases (connotación, comprensión).

La lógica tradicional habla, respectivamente, de extensión (aptitud de un predicado para ser atribuido a los miembros de un grupo de individuos) y de comprensión (conjunto de notas que definen a un predicado). La doctrina de las relaciones entre la extensión y la comprensión se encuentra clásicamente expuesta en la Logique de Port Royal (1662): cuanto mayor es la extensión de un predicado menos es su comprensión y viceversa (p. ej., «animal» es más extenso que «hombre» y a la vez más reducido en comprensión). La pareja de términos de análogo sentido denotación y connotación procede de John Stuart Mill (1806-1873).

La diferencia entre extensión e inensión se aprecia fácilmente analizando el uso de los predicados (nombres comunes). Así por ejemplo, la extensión del predicado «azul» está determinada por la clase de objetos que son azules. Pero también cabe decir que el color azul tiene una serie de características propias, como la de ocupar un determinado lugar en el espectro cromático: tales características constituirían la intensión (significado) del predicado «azul».

Al considerar a los predicados desde el punto de vista «extensional» se dice que aluden, o mejor, que denotan clases o conjuntos. Pero cuando se los contempla desde el ángulo «intensional» se dice que designan propiedades o notas de los objetos. Cuando un predicado es poliádico, la clase o conjunto que denote recibe el nombre más específico de relación.

La mencionada diferencia de punto de vista en lógica repercute en el criterio que se utilice para distinguir unos predicados de otros. Desde el punto de vista extensional, dos predicados son idénticos cuando se atribuyen a una misma clase de individuos. Por ejemplo, los predicados «animal racional» y «bípedo implume» son extensionalmente idénticos, puesto que ambos denotan la misma clase, que es la de los seres humanos. Pero para que dos predicados se consideren idénticos desde el punto de vista intensional se requiere además que contengan las mismas notas. La determinación de criterios de sinonimia (identidad de significado) y de definibilidad por especificación de notas (como cuando se define el agua diciendo que es un compuesto de dos partes de hidrógeno y una de oxígeno) son cuestiones en que interviene la lógica intensional.

En un breve ensayo, hoy famoso, Frege extendió de un modo muy original la mencionada dualidad semántica de intensión y extensión – en terminología de Frege: «sentido» y «referencia» – para el caso de los nombres propios y los enunciados. La necesidad de introducir esta distinción en el uso de los nombres propios quedaría patentizada por enunciados tales como

La estrella de la mañana es la misma que la estrella de la tarde.

Este enunciado sólo puede ser entendido si se acepta que las expresiones «estrella de la mañana» y «estrella de la tarde», que son nombres propios, tienen un sentido distinto, mientras que su referencia es la misma (porque la información empírica enseña que ambas denotan una sola y misma cosa: el planeta Venus). Frege: Über Sinn und Bedeutung (Sobre sentido y referencia), 1892. En cuanto a la traducción de este título conviene advertir que la palabra alemana «Bedeutung» se traduce normalmente por «significado», pero en el contexto de la teoría de Frege hay que traducirla por «referencia» o «denotación». El término «sentido», en cambio, puede ser asimilado aquí a «significado».

La mencionada dualidad semántica de sentido y referencia fue asimismo extrapolada por Frege al caso de los enunciados. En un enunciado cabe distinguir dos tipos de contenido: por una parte el hecho que enuncia y por otra su valor de verdad. Así, por ejemplo, en el enunciado «llueve» una cosa es su alusión a la lluvia y otra el valor de verdad que le corresponda (verdad, si es cierto que llueve, y falsedad si no es cierto que llueve). Ahora bien, para Frege el sentido (significado) del enunciado sería lo que por él se capta aun sin saber si es verdadero o falso; y la referencia (denotación) del mismo sería constituida por su valor de verdad.

De acuerdo con esta teoría se da la circunstancia de que todos los enunciados verdaderos tienen una misma referencia, a saber: la verdad, aunque el sentido de cada uno de ellos sea diverso. Y análogamente sucede con los enunciados falsos, pues por mucho que difiera el sentido de cada uno, su referencia en todo caso es la falsedad.

Sobre la viabilidad de una lógica o de una semántica establecida con criterio intensional difieren las opiniones. Algunos autores, como Carnap defienden esa viabilidad. Otros, como Quine estiman que la lógica intensional y la teoría del significado no llevan a ninguna parte. La opinión general es, en todo caso, que la lógica extensional y la teoría de la referencia constituyen el camino más seguramente practicable de la ciencia lógica. De hecho ha sido también el más practicado.

Las categorías extensionales pertenecen a la semántica entendida como teoría de la referencia.”

[Garrido, Manuel: Lógica simbólica. Madrid: Editorial Tecnos, ²1977, pp. 218-229]

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“Noción de función en Gottlob Frege

Las nociones simples del sistema de Frege, aparte de los sincategoremáticos, funtores, cuantificadores, y descriptor, son: «objeto» y «función»; nociones contrapuestas, complementarias y paralelas.

1) Son contrapuestas: «los objetos se oponen a las funciones» y «objeto es todo lo que no es función, la expresión de la cual, por tanto, no lleva consigo un lugar vacío». Entre los objetos coloca Frege a: los números, los valores de verdad, los recorridos de las funciones y las extensiones de los conceptos.

2) Son complementarias: como ya había indicado en la Begriffsschrift, en cualquier enunciado no todos sus miembros deben estar saturados o cerrados porque de lo contrario no podrían adherirse los unos a los otros. Las funciones son insaturadas pero sirven de «cemento» para unir los otros constituyentes que sí son saturados.

3) Son paralelas: paralelismo que aparece en el tratamiento y distinciones a que son sometidos. Así, están los nombres de objetos y los nombres de funciones. Los nombres de objetos son los nombres (lógicamente) propios, los únicos que denotan objetos: «llamo nombre propio o nombre de objeto a todo signo que denote un objeto, sea dicho signo simple o complejo. Pero no llamo nombre propio o nombre de objeto a un signo que no hace más que denotar un objeto de una manera ambigua», ejemplos de nombre propios simples: «Venus», «9», «Alejandro Magno»; ejemplos de nombres propios complejos: «9²», «el padre de Alejandro Magno».

Para Frege no hay «nombre común»: todo nombre, que verdaderamente lo sea, denota un objeto, y los nombres comunes, al no denotar un objeto, no pueden ser nombres comunes (propios o complejos); serán expresiones funcionales (nombres de funciones).

Así como hay nombres de objetos, también hay nombres de funciones; y así como los primeros denotan objetos, así también los segundos denotan funciones. Las funciones – dice Frege – son las «denotaciones» (Bedeutungen) de los nombres de funciones (o expresiones funcionales). Y usa al respecto explícitamente el término «denotación» (Bedeutung). Pero como, por otra parte, usa el término «denota» (bedeutet) para expresar la relación entre un nombre propio y un objeto, y el término «denotación» (Bedeutung) para hablar del objeto nombrado por nombre propio, no aparece claro cómo puede decirse luego que las funciones (precisamente lo que no son objetos) son las denotaciones de los nombres de funciones.

Esa falta de claridad es el precio que hay que pagar por mantener el paralelismo: y, así, en vez de tratar de distinguir sentidos en el uso que Frege hace de Bedeutung, mejor es mantener que, según Frege, hay dos maneras en que los nombres tienen denotación. Unos nombres (los «nombres propios», los «nombres complejos») tienen una denotación «saturada»: los objetos éstos son «auto-subsistentes» (selbst-ständig) y «saturados» (gesättig). Y los otros nombres (los nombres de funciones, los «nombres incompletos») tienen una denotación «insaturada»: las funciones. Una función está falta de complección (ergänzungsbedürftig), y es insaturada (ungesättig).

Quedan, pues, como nociones lógicamente primitivas e irreductibles en el sistema de Frege: «función» y «objeto». Estas nociones no son definibles; sólo pueden ser explicadas o indicadas, una a partir de la otra. Así, «es objeto todo lo que no es función», y «lo que llamo objeto no puede ser explicado exactamente más que con respecto a los conceptos o las relaciones» (esto es, respecto de las funciones).

La nociónd e «función», así entendida, es más amplia que la noción clásica, matemática.”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Publicaciones de la Universidad. O. J., p. 335]

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«Función y argumento en Frege

Si avanzando en el análisis, queremos determinar los componentes de los juicios, tenemos, según Frege, que toda expresión se descompone en dos: "un componente estable que representa la totalidad de las relaciones, y el símbolo considerado como reemplazable por otros, que significa el objeto que se encuentra en estas relaciones. Al primer componente lo llamo función, y al último, su argumento".

Según este análisis de Frege, los componentes del juicio (proposición) no son, como propugna el análisis clásico, sujeto y predicado, sino función y argumento. Función es el componente estable, pero incompleto, no saturado. Argumento es el componente variable que viene a saturar el primero y a formar con él un juicio (proposición). Así, por ejemplo, dada la proposición "El hidrógeno es más liviano que el anhídrido carbónico", en el lugar de la palabra "hidrógeno" podemos poner la palabra "oxígeno" o "nitrógeno", o el nombre de cualquier otro gas, y de acuerdo con estas sustituciones, va variando el sentido de la proposición, pero las palabras "oxígeno", "nitrógeno", etc., mantienen con el resto de la proposición las mismas relaciones que la palabra "hidrógeno". Por lo tanto, en la proposición dada, "hidrógeno" es el argumento (representado por A) y "es más liviano que el anhídrido carbónico", la función (representada por Φ). De manera que la proposición entera así analizada será representada como sigue:

|— Φ (A)

Continuando con el análisis en la proposición señalada, podemos distinguir, a su vez, en esta función un componente variable, a saber, "anhídrido carbónico". Tenemos entonces una nueva función Ψ, "es más liviano que", con dos argumentos: A. "hidrógeno", y B: "anhídrido carbónico", y escribiendo la proposición así:

|— Ψ (A, B)

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Publicaciones de la Universidad. O. J., p. 319]

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Filosofía de la Lógica en Frege

“No resulta fácil precisar la concepción de Frege de la Lógica. Para ello hay que rastrear otras nociones suyas cuya elucidación deja traslucir lo que lo lógico era para Frege.

La noción más importante para este propósito es la de «analítico»; noción que ocupa su atención ya en la Begriffsschrift, y que resulta central en los Fundamentos. Que Frege asocia lo lógico a lo analítico queda patente en las palabras con que concluye sus investigaciones en los Fundamentos: «Espero haber hecho verosímil en esta obra la idea de que las leyes aritméticas son juicios analíticos y que, por consiguiente, son a priori. La aritmética, por tanto, sería solamente una lógica más extensamente desarrollada, y cada enunciado aritmético sería una ley lógica, aunque una ley derivada. Las aplicaciones de la aritmética en la explicación de la naturaleza sería elaboraciones lógicas de hechos observados; calcular sería deducir».

El criterio de analiticidad es la existencia de una demostración; analítico significa para Frege la existencia de una demostración en un sistema cuyos axiomas son principios generales y, por lo tanto, lógicos. [...]

El concepto fregeano de analiticidad es de naturaleza sintáctica (demostrabilidad en un sistema lógico), en lo concerniente a las proposiciones derivadas. Es en esta parte en la que más insiste Frege, y donde más convincentes son sus argumentaciones. Una vez establecidas las leyes básicas, las Grundgesetze, se trata de reconocer qué otras proposiciones son deducibles de ellas, y clasificarlas, entonces, entre las analíticas.

El problema está, sin embargo, en determinar la naturaleza de las proposiciones de base. Podemos reconocerlas, dice Frege sin equívoco ni discusión como proposiciones de naturaleza lógica, debido a que todos los dominios del saber apelan, implícita o explícitamente, a ellas.

Según esto, las proposiciones de base resultan ser de naturaleza lógica porque así se nos imponen; porque su verdad se nos impone necesariamente. Y se distinguen de los axiomas de otros dominios (de los axiomas de la Geometría, por ejemplo), porque poseen un grado de necesidad más elevado. Por tanto, la lógica axiomática no constituye un sistema hipotético-deductivo, sino que posee carácter apodíctico (de aquí parte la crítica de Frege a la axiomática de Hilbert). Los axiomas de la Lógica no son hipótesis, sino principios verdaderos, necesarios, inmutables y únicos. Y aquí hace su aparición la Ontología de Frege (una especie de platonismo): Los axiomas de la Lógica poseen esas propiedades porque emanan de un mundo invisible, de una «tercer reino», que no es ni el de los objetos del mundo exterior, ni el de las representaciones subjetivas. Los objetos de este «tercer reino» coinciden con los objetos físicos en que no precisan de sujeto alguno a cuyos contenidos de conciencia pertenezcan, y con las representaciones subjetivas en que no son perceptibles por los sentidos. Y es posible acceder a los objetos de este tercer reino, aunque, ciertamente, no a través de la sensibilidad: por eso rechaza Frege la tesis de Kant de que sin la sensibilidad no nos sería dado ningún objetl: el cero, el uno son objetos que no pueden venir dados por los sentidos, sino que «son dados directamente a la razón». [...] Los axiomas de la Lógica son de esta naturaleza: emanan de ese tercer reino poblado de juicios verdaderos, independientes del hecho de que los individuos humanos los efectúen, o no. Por sí mismos no pueden probar su validez ni indicar su origen, que es, en realidad, extralógico. [...] El fundamento último de la Lógica no está en la Lógica, sino en la Ontología. Podría decirse, para justificar las primeras proposiciones irreductibles, que al margen de ellas se acabaría todo; ellas constituirían las condiciones de posibilidad de lo real.

En uno de los últimos escritos (Der Gedanke, 1918) desarrolla Frege su teoría del «tercer reino», poblado de esos seres que él llama «pensamientos». El pensamiento (der Gedanke) es aquello con respecto a lo cual tiene sentido plantearse la verdad en general. El pensamiento es el sentido de una oración; es lo que A. Church, fiel seguidor de Frege, propone traducir por «proposición», entendida ésta en sentido abstracto, como la entendió Bolzano, a la que llama Satz an sich, y como entiende Frege su Gedanke: el contenido significativo de la oración aseverativa, que es común a la oración y a sus traducciones a otras lenguas; el contenido objetivo del pensamiento que puede ser propiedad común de muchos. «Los pensamientos no son ni objetivos del mundo exterior, ni representaciones. Hay que admitir un tercer reino». En él habita, por ejemplo, el pensamiento expresado en el teorema de Pitágoras; más también lo pueblan los números y las leyes de la Lógica; y todos sus habitantes gozan de intemporalidad, de necesidad, de verdad y de independencia respecto de la actividad humana.”

[Velarde Lombraña, Julián: Historia de la lógica. Oviedo: Servicio de Public. de la Universidad. O. J., pp. 350-352]

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“En el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy, Lord Russell escribía:

«Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, prodemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática».

Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia; y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica. Desde cualquier punto de vista que enfoquemos la cuestión, la lógica ha de ser considerada como el aparato básico y fundamental de esa variopinta familia de teorías deductivas a la que damos el nombre de matemática, puesto que se halla presupuesto por todas ellas. Pero carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos aparatos de la matemática. Y, sin embargo, esto es lo que tendría hoy que decir un seguidor de Frege. En los días de Frege, el ámbito de la lógica no se hallaba todavía delimitado con precisión y la tesis logicista podía parecer plausible a sus contemporáneos por el hecho de resultarles fácil concebir el paso de la teoría de la cuantificación a la teoría de conjuntos y la aritmética. Mas los descubrimientos de Gödel han puesto de relieve una profunda diferencia entre la teoría de la cuantificación, que es completa, y la teoría de conjuntos, que no lo es. En beneficio de la claridad parece, por lo tanto, preferible reservar para la primera la denominación de «lógica», y esto es de hecho lo que hacen la mayor parte de los matemáticos cuando se hallan enfrascados en sus ocupaciones cotidianas. Para decirlo en dos palabras, lo que hemos dado en llamar lógica general por ocuparse de la noción de generalidad parece asimismo merecer ese título por no dejar fuera de sí nada que sea propio de la lógica, excepción hecha del expreso tratamiento de la modalidad que descansa en el tránsito de las reglas de primer orden a las de segundo orden.”

[Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal. Madrid: Gredos, 1976, pp. 673-674]

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